Analysis

Themen

In diesem Teil möchte ich über folgende Themen sprechen:

1. Reelle Zahlen
2. Komplexe Zahlen
3. Metrische Räume
4. Folgen und Reihen
   1. Folgen
   2. Reihen
5. Stetigkeit
6. Differentialrechnung
   1. Ableitungen
   2. Taylorreihen
   3. Anwendungen der Differentialrechnung
7. Integralrechnung
   1. Bestimmte und unbestimmte Integrale
   2. Uneigentliche- und Parameterintegrale
   3. Kurvenintegrale

Über die Analysis

Eine der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik bildet die Analysis. Sie beschäftigt sich hauptsächlich mit Funktionen in den reellen und komplexen Zahlen. Dabei steht die Untersuchung der Eigenschaften dieser Funktionen im Vordergrund. Zu diesen Eigenschaften zählen insbesondere die Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit. Man unterscheidet häufig zwischen der reellen Analysis mit den reellen Zahlen und der komplexen Analysis mit den komplexen Zahlen. Statt "komplexe Analysis" verwendet man häufig den Begriff Funktionentheorie.

Die Analysis spielt in den Natur- und Ingenieurswissenschaften eine tragende Rolle. Viele technische und natürliche Vorgänge können durch wert-kontinuierliche Funktionen abgebildet werden. Diese entsprechen gerade den Funktionen in den reellen Zahlen. Die Funktionalanalysis ist eine Verschmelzung von linearer Algebra mit der Analysis. Sie ist die Grundlage der Mathematik hinter der Quantenmechanik. Differentialgleichungen sind häufig Grundlage von mathematischen Modellen in den Natur- und Ingenieurswissenschaften. Die Funktionentheorie, Funktionalanalysis und Differentialgleichungen sind selbst so große Themenkomplexe, dass sie hier nicht weiter behandelt werden. Das Kapitel über Analysis beschäftigt sich hauptsächlich mit der ein- und mehrdimensionaler reeller Analysis.

Bekannte Namen wie Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton haben die Analysis durch ihre Infinitesimalrechnung begründet. Charakteristisch dabei ist, dass das Änderungsverhalten von Funktionen auf beliebig kleinen Abschnitten untersucht wird. Das "unendlich Kleine" sorgte damals allerdings für so manche Widersprüche. Durch die Arbeiten von Leibniz, Newton, Leonhard Euler, Augustin-Louis Cauchy und Bernhard Riemann konnte die Analysis aber schließlich so entwickelt werden, wie sie heute Anwendung findet.